Consigne: Soit \(u\) un endomorphisme de \(E\), et \({\mathcal B}\) une base de \(E\)
Discuter de la dimension du noyau de \(u\) $$M_{\mathcal B}(u)=\begin{pmatrix}-1-\lambda&2&1\\ 4&1-\lambda&-2\\ 0&0&3-\lambda\end{pmatrix}$$
(sans utiliser les valeurs propres)
Calculer la dimension du noyau revient à calculer le rang
Théorème du rang : on a : $$\operatorname{dim}\ker M=3-\operatorname{Rg} M$$
Calculons de le rang de \(M\)
Calcul du déterminant
$$\begin{align}\operatorname{det} M&=(3-\lambda)\begin{vmatrix}-1-\lambda&2\\ 4&1-\lambda\end{vmatrix}\\ &=(3-\lambda)(\lambda^2-1-8)\\ &=-(\lambda-3)^2(\lambda+3)\end{align}$$
Calcul du rang en fonction des valeurs de \(\lambda\) et conclusion
- Si \(\lambda\notin\{-3,3\}\), \(M\) est inversible donc \(\operatorname{Rg} M=3\) et \(\operatorname{dim}\ker M=0\)
- Si \(\lambda=3\), alors \(M_=\begin{pmatrix}-4&2&1\\ 4&-2&-2\\ 0&0&0\end{pmatrix}\). Les colonnes \(1\) et \(2\) sont proportionnelles et les colonnes \(2\) et \(3\) sont indépendantes, donc \(\operatorname{Rg} M=2\) et \(\operatorname{dim}\ker M=1\)
- Si \(\lambda=-3\), alors on a également \(\operatorname{Rg} M=2\) et \(\operatorname{dim}\ker M=1\)